Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 65

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

f x ,   y ,   z = e x y z 2 ; f x y z

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? O termo f y x z indica que teremos que derivar parcialmente na ordem como solicitada no enunciado.

Primeiro em y , depois em x e por último em z .

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

f x ,   y ,   z = e x y z 2 ; f x y z

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo ∂ , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo f x y z , teremos:

f x ,   y ,   z = e x y z 2

Primeira derivada em relação a x .

Pela Regra da cadeira

Usamos a regra da cadeia, que diz que se u = g x , y e f = h u , então: ∂ f ∂ y = ∂ h ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

∂ ∂ x e x y z 2 = e x y z 2 . ∂ ∂ x ( x y z ² )

Agora calculando a derivada da segunda parte, ∂ ∂ x x y z 2 = y z ² . Sendo assim:

∂ ∂ x e x y z 2 = e x y z 2 y z ²

Passo 4

Segunda derivada em relação a y .

∂ ∂ y e x y z 2 y z 2

Pela regra da cadeia apresentada no Passo 3 , obtemos:

∂ ∂ y = z ² e x y z 2 ( 1 + x y z 2 )

Passo 5

Para finalizar a última derivada em relação a z .

∂ ∂ z = ∂ ∂ z z 2 e x y z 2 1 + x y z 2

Utilizando os meus conceitos dos passos 3 e 4 para a regra do produto. Teremos o resultado como.

∂ ∂ z = ( 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2 )

Por fim, só para sintetizar, temos que:

f x y z = ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

Resposta

f x y z = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Quantas derivadas de n -ésima ordem tem uma função de duas variáveis?(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?(c) Responda a parte (a) da questão para uma
Seja f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = 0,0 (e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use os gráficos de f x y e f y x para ilustrar sua resposta.
Seja f (x , y , z) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . Verifique que(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = 0
Verifique que (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0 , onde f (x , y) = ln (x^2 + y^2) .
Seja f : A ∈ R 3 → R , A aberto de classe C 2 Justifique as igualdades:a) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x b) ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x c) ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y