Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

f x ,   y ,   z = e x y z 2 ; f x y z

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? O termo f y x z indica que teremos que derivar parcialmente na ordem como solicitada no enunciado.

Primeiro em y , depois em x e por último em z .

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

f x ,   y ,   z = e x y z 2 ; f x y z

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo f x y z , teremos:

f x ,   y ,   z = e x y z 2

Primeira derivada em relação a x .

Pela Regra da cadeira

Usamos a regra da cadeia, que diz que se u = g x , y e f = h u , então: ∂ f ∂ y = ∂ h ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

∂ ∂ x e x y z 2 = e x y z 2 . ∂ ∂ x ( x y z ² )

Agora calculando a derivada da segunda parte, ∂ ∂ x x y z 2 = y z ² . Sendo assim:

∂ ∂ x e x y z 2 = e x y z 2 y z ²

Passo 4

Segunda derivada em relação a y .

∂ ∂ y e x y z 2 y z 2

Pela regra da cadeia apresentada no Passo 3 , obtemos:

∂ ∂ y = z ² e x y z 2 ( 1 + x y z 2 )

Passo 5

Para finalizar a última derivada em relação a z .

∂ ∂ z = ∂ ∂ z z 2 e x y z 2 1 + x y z 2

Utilizando os meus conceitos dos passos 3 e 4 para a regra do produto. Teremos o resultado como.

∂ ∂ z = ( 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2 )

Por fim, só para sintetizar, temos que:

f x y z = ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

Resposta

f x y z = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

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