Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Calculando todas as derivadas parciais.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 1 / 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + y 2 ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 1 / 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 / 2 ⋅ 2 y = y x 2 + y 2

Passo 2

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 1 ) - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 1 ) - y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0.

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Provado.

Resposta

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