Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 76

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Calculando todas as derivadas parciais.

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 1 / 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + y 2 ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 1 / 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 / 2 ⋅ 2 y = y x 2 + y 2

Passo 2

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 1 ) - x ( 2 x ) x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 1 ) - y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Calcule o Laplaciano e verifique se ele é igual a 0.

∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Provado.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas 5. f x , y , z =x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z f y x , y , z
Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas 4. f x , y =∫ x y ln ⁡ sen ⁡ t d t f x x , y
Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas 6. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 ∂ f ∂ z x , y , z
7. Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de z = x 2 9 + y 2 4 - 1 Com o plano y = 4 no ponto 3,4 , 2
9. Seja f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0 Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 ) Mostre, usando a definição que f é d