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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 69

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

w = x y + 2 z ;   ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x ,   ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? Teremos que resolver duas derivadas e ordem superior.

1 - Primeiro em x , depois em y e por último em z .

2 – Primeiro em y , a segunda e a terceira e relação a x .

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

w x y z = ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x

w y x x = ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo ∂ , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo w x y z , teremos:

w = x y + 2 z

A primeira derivada será em relação a x .

w = 1 y + 2 z ∂ ∂ x ( x )    

∂ w ∂ x = 1 y + 2 z

Passo 4

Segunda derivada. Será a derivada do resultado do Passo 3 em relação a y .

∂ ² w ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 1 y + 2 z

Neste caso teremos que aplicar a regra do quociente de uma função do tipo f x g x   é dada por:

f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x g x 2

Vamos colocar nomes aos bois?

f y = 1

g y = y + 2 z

f ' y = 0

g ' y = 1

Agora podemos substituir

( 0 ) ∙ ( y + 2 z ) - 1 ∙ 1 ( y + 2 z ) ²

Temos então

∂ ² w ∂ y ∂ x = - 1 ( y + 2 z ) ²

Passo 5

Terceira derivada. Será a derivada do resultado do Passo 4 em relação a z .

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ z - 1 y + 2 z 2

Seja u = y + 2 z . Assim, - 1 y + 2 z 2 pode ser escrito como - 1 u 2 .

Então, derivamos - 1 u 2 em relação a u , que é d d u - u 2 = 2 u - 3

Depois, aplicamos a derivada de u em relação a z , que é d d z y + 2 z = 2

Agora, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando as duas derivadas.

= 2 y + 2 z 3

Passo 6

Descobrindo w y x x , teremos:

w = x y + 2 z

Primeira derivada. Em relação a y .

Seja u = y + 2 z Então w = d d u x u

w = - x u 2

Em seguida, precisamos derivar u em relação y , o que é d d y y + 2 z = 1

Multiplicando as duas derivadas, obtemos:

∂ w ∂ y = - x ( y + 2 z ) ²

Passo 7

Segunda derivada. Teremos que derivar o resultado do Passo 6 em relação a x .

∂ 2 w ∂ x ∂ y = - 1 y + 2 z 2

Como na função não temos nenhum termo em função de x, a terceira derivada será zero.

∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

Passo 8

Por fim, só para sintetizar, temos que:

w x y z = ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

w y x x = ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

Resposta

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

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