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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 42

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ( s i n ⁡ x y ) = cos ⁡ x y ⋅ y = ycos ⁡ x y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ( s i n ⁡ x y ) = cos ⁡ x y ⋅ x = xcos ⁡ x y

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ycos ⁡ x y = y ⋅ - sin ⁡ x y ⋅ y = - y 2 sin ⁡ x y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 + y = 1

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ( x c o s ⁡ x y ) = x ⋅ ( - s i n ⁡ x y ⋅ x ) = - x 2 s i n ⁡ x y

Resposta

∂ 2 f ∂ x 2 = - y 2 s i n ⁡ x y , ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = - x y s i n ⁡ x y + c o s ⁡ x y ,  and  ∂ 2 f ∂ y 2 = - x 2 s i n ⁡ x y

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