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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 46

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ s ∂ x = ∂ ∂ x tan - 1 ⁡ y x = 1 1 + y x 2 ⋅ ∂ ∂ x y x = 1 1 + y x 2 ⋅ - x - 2 y = - y 1 + y 2 x 2 ⋅ x 2 = - y x 2 + y 2 ∂ s ∂ y = ∂ ∂ y tan - 1 ⁡ y x = 1 1 + y x 2 ⋅ ∂ ∂ y y x = 1 1 + y 2 x 2 ⋅ x = 1 x + y 2 x = 1 x 2 + y 2 x = x x 2 + y 2

Passo 3

∂ 2 s ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ s ∂ x = ∂ ∂ x - y x 2 + y 2 = - x 2 + y 2 0 - y 2 x x 2 + y 2 2 = 2 x y x 2 + y 2 2

∂ 2 s ∂ x ∂ y = ∂ 2 s ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 = - x 2 + y 2 1 - y 2 y x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

∂ 2 s ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ s ∂ y = ∂ ∂ y x x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ( 0 ) - x ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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