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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 43

Nos exercícios 42   a   47 , determinar as derivadas parciais indicadas

z = x cos ⁡ x y , ∂ 2 z ∂ x 2 , ∂ 2 z ∂ x ∂ y , ∂ 2 z ∂ y ∂ x .

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = cos ⁡ x y + x - sen ⁡ x y y

∂ z ∂ x = cos ⁡ x y - x y sen ⁡ x y

A primeira derivada, em relação a y , é dada por:

∂ z ∂ y = x - sen ⁡ x y x

∂ z ∂ y = - x 2 sen ⁡ x y

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de 2 ª ordem da função! Em relação a x , temos:

∂ 2 z ∂ x 2 = - y sen ⁡ x y - [ y sen ⁡ x y + x y cos ⁡ x y y ]

∂ 2 z ∂ x 2 = - y sen ⁡ x y - y sen ⁡ x y - x y 2 cos ⁡ x y

∂ 2 z ∂ x 2 = - 2 y sen ⁡ x y - x y 2 cos ⁡ x y

Se derivamos ∂ z ∂ x em relação a y , teremos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - x sen ⁡ x y - x sen ⁡ x y + x y cos ⁡ x y x

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - x 2 y cos ⁡ x y - 2 x sen ⁡ x y  

Agora, se derivarmos ∂ z ∂ y em relação a x , teremos:

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - 2 x sen ⁡ x y + - x 2 cos ⁡ x y y

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - x 2 y cos ⁡ x y - 2 x sen ⁡ x y

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ 2 z ∂ x 2 = - 2 y sen ⁡ x y - x y 2 cos ⁡ x y

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - x 2 y cos ⁡ x y - 2 x sen ⁡ x y  

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - x 2 y cos ⁡ x y - 2 x sen ⁡ x y

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