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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 48a

Verificar o teorema de Schawartz para as funções:

a) z = y x 2 + y 2

Passo 1

Galerinha, o teorema de Schawartz nos diz que as derivadas parciais de 2 ª ordem de uma função z = f ( x , y ) , são iguais. Ou seja

∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x 0 , y 0 )

Assim, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = - y 2 x x 2 + y 2 2

∂ z ∂ x = - 2 x y x 2 + y 2 2

Derivando em relação a y , temos:

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - 2 x x 2 + y 2 2 + 2 x y 2 x 2 + y 2 2 y x 2 + y 2 4

∂ 2 z ∂ y ∂ x = 2 x 2 + y 2 x + 8 x y 2 x 2 + y 2 3 = - 2 x 3 - 2 x y 2 + 8 x y 2 x 2 + y 2 3

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - 2 x 3 + 6 x y 2 x 2 + y 2 3

Passo 2

Agora, vamos derivar z em relação a y :

∂ z ∂ y = x 2 + y 2 - y ( 2 y ) x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Derivando ∂ z ∂ y em relação em x , temos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 2 x x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 2 x 2 + y 2 2 x   x 2 + y 2 4

∂ 2 z ∂ x ∂ y = x 2 + y 2 2 x - x 2 - y 2 4 x x 2 + y 2 3

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 2 x 3 + 2 x y 2 - 4 x 3 + 4 x y 2 x 2 + y 2 3

Como ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x , o teorema foi verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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