Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 62
Seja f (x, y) = x2 + y3. Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto (–1, 1) que está no a. plano x = –1 b. plano y = 1.
Passo 1
Queremos encontrar a inclinação da reta tangente à superfície
no ponto (−1,1) que se encontra no plano x=−1 para a peça a., e no plano y=1 para a peça b.
Motivados pelo Exemplo 5 notamos que a inclinação da reta tangente à superfície dada no ponto (−1,1) que está no plano x=−1 será igual a
enquanto a inclinação da linha tangente à superfície dada no mesmo ponto que está no plano y=1 será igual a
Observe que (−1,1) está nessas planícies, então as linhas tangentes cujas inclinações queremos calcular existem.
Passo 2
Vamos explicar brevemente por que isso ocorre no caso do plano x=−1 (é completamente análogo para o caso do plano y=1). Observe que se mantivermos x=−1 fixo em f(x,y) obtemos a função
cujo gráfico está no plano x=−1. A inclinação da reta tangente ao gráfico de z no ponto (−1,1) é dada por . Pela forma como definimos z, sabemos que então
o que prova nosso ponto.
Passo 3
a. Agora podemos calcular a inclinação da reta tangente a em (−1,1) que está no plano x=−1. Primeiro calculamos :
b. Agora podemos calcular a inclinação da reta tangente a em (−1,1) que está no plano y=1. Primeiro calculamos :
Resposta
- 3
- -2