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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 1

Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.

1- f x ,   y = x 2 + y 2 3 2 ,                                     a ) f x x x ,   y ,                                         b ) f y x ( x ,   y )

Passo 1

Gente, nem precisa esquentar a cabeça com esse negócio de derivadas parciais. Olha, aquelas regrinhas de derivação continuam valendo, as regras do produto, do quociente e a regra da cadeia também. Mas a gente vai ter que ter mais atenção para não sair derivando tudo, né ?! Se tiver por exemplo uma expressão ou termos multiplicados que não tenham a nossa parcial de interesse, o resultado dessa derivada é zero. Ao utilizar a regra da cadeia nós fazemos o mesmo processo para a função de fora e usamos a derivada parcial só pra função de dentro, sacou ?! Isso vai ficar mais claro se resolvermos o exercício, então vamos lá!

Passo 2

a)Galerinha, nós sabemos que:

f x x x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

Assim,

f x x x ,   y = ∂ ∂ x ∂ ∂ x x 2 + y 2 3 2  

= ∂ ∂ x 3 2 x 2 + y 2 1 2 × 2 x

= ∂ ∂ x x 2 + y 2 1 2 × 3 x

= 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 × 2 x × 3 x + 3 x 2 + y 2 1 2

Agora, vamos dar uma arrumada nesse negócio pra ele ficar mais elegante, né ?!

= 3 x 2 x 2 + y 2 + 3 x 2 + y 2

= 3 x 2 + 3 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Um último toque pra ficar top:

= 3 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 3

b)Galerinha, nós temos isso aqui:

f y x x ,   y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Assim,

f y x x ,   y = ∂ ∂ x ∂ ∂ y x 2 + y 2 3 2

= ∂ ∂ x 3 2 x 2 + y 2 1 2 × 2 y

= ∂ ∂ x x 2 + y 2 1 2 × 3 y

= 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 × 2 x × 3 y

Seria meio injusto ter arrumado a expressão do item a e não arrumar essa né ?! Então,

f y x x ,   y = 3 x y x 2 + y 2  

Fim !

Resposta

  1. 3 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2
  2. 3 x y x 2 + y 2
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