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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 24

Encontre todas as soluções da equação do calor unidimensional que têm a forma w = ert sen kx e satisfazem as condições

w(0, t) = 0 e w(L, t) = 0. O que acontece com essas soluções

quando t S q?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Este é o último exercício adicional avançado e tem como tópico as equações de calor unidimensional, como a questão anterior. É pedido para encontrarmos todas as soluções para a equação de calor unidimensional da forma w = e n s e n ⁡ π x e que satisfaça w ( 0 , t ) = 0 e w ( L , t ) = 0 . Também precisamos dizer o que acontece quando t → ∞ .Vamos para a resolução? Acompanhe!

Passo 2

Temos que as derivadas parciais para w = e n s e n ⁡ π x são:

w t = r e r t s e n ⁡ k x w x = k e r t c o s ⁡ k x

E a segunda derivada em relação a x é:

w x x = - k 2 e n k x

Mas temos a igualdade:

w x x = 1 c 2 w t

Então:

  - k 2 e r t s e n ⁡ k x = 1 c 2 r e r t s e n ⁡ k x r + c 2 π 2 e r t s e n ⁡ k x = 0 r = - c 2 π 2

Levando a: w = e - c 2 π 2 t s e n ⁡ k x Para w ( L , t ) = 0 teremos:

e - c 2 k 2 t s e n ⁡ k L = 0 k L = n π , sendo  n π  um valor inteiro.   Logo:  k = n π L

Voltando em w obtemos:

w = e - c 2 n 2 π 2 t / L 2 s e n ⁡ n π L x

Assim, quando t → ∞ , w → 0 pois s e n ⁡ n π L x ≤ 1 e e - c 2 n 2 π 2 t / L 2 → 0 .

Resposta

Resposta nos passos.

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