Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , y , z = x z - 5 x 2 y 3 z 4

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar as outras variáveis como se fossem números quaisquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para todas as variáveis e temos nossa resposta!

Passo 2

Temos a nossa a função

f x , y , z = x z - 5 x 2 y 3 z 4

Observe que essa é uma função de 3 variáveis e teremos uma derivada parcial para cada.

Começado pela derivada em x , nós precisamos fixar (tratar como constante) as variáveis a y e z , assim teremos uma função que só depende de a x :

f x = x z - 5 x 2 y 3 z 4

Assim, derivando esta função em relação a x , teremos:

d f d x = d   x z d x - d   5 x 2 y 3 z 4 d x

d f d x = z d x d x - 5 y 3 z 4 d x 2 d x

f x   = z - 10 x y 3 z 4

Dessa forma, só precisamos repetir o processo para as outras variáveis e teremos todas as derivadas parciais!

Encontrando agora a derivada em y , fixamos as variáveis a x e z , assim teremos uma função que só depende de a y :

f y = x z - 5 x 2 y 3 z 4

d f d y = d   x z d y - d   5 x 2 y 3 z 4 d y

d f d y = 0 - 5 x 2 z 4 d y 3 d y

f y   = - 1 5 x ² y 2 z 4

E por fim, encontrando agora a derivada em z , fixamos as variáveis a x e y , assim teremos uma função que só depende de a z :

f z = x z - 5 x 2 y 3 z 4

d f d z = d   x z d z - d   5 x 2 y 3 z 4 d z

d f d z = x d z d z - 5 x 2 y 3 d z 4 d z

f z   = x - 20 x ² y 3 z 3

Resposta

f x   = z - 10 x y 3 z 4

f y   = - 15 x ² y 2 z 4

f z   = x - 20 x ² y 3 z 3

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