Determine as derivadas parciaias de primeira ordem da função.

w = ln(x + 2y + 3z)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função w .

Como a função w tem três variáveis, teremos três derivadas parciais de primeira ordem: w x , w y e w z .

E como encontro essas derivadas? É bem simples! Nós só precisamos tratar as variáveis que não estão envolvidas na derivação como números constantes!

Passo 2

Nós temos a função

w = ln ⁡ x + 2 y + 3 z

Para encontrar w x , vamos derivar em x considerando y e z como constantes.

Dessa forma:

∂ w ∂ x = ∂ ln ⁡ x + 2 y + 3 z ∂ x

Onde podemos encontrar o resultado dessa derivada pela regra da cadeia!

Relembrando:

A regra da cadeia nos diz que para uma função

w = f g ( x )

A sua derivada é dada por

d w d x = d f u d u ⋅ d g x d x  

Dessa forma

d w d x = d   l n ( u ) d u ⋅ d ( x + 2 y + 3 z ) d x

∂ w ∂ x = 1 x + 2 y + 3 z ⋅ ∂ ∂ x ( x + 2 y + 3 z )

∂ w ∂ x = 1 x + 2 y + 3 z

Passo 3

Da mesma forma podemos encontrar as demais derivadas!

Para encontrar w y

∂ w ∂ y = 1 x + 2 y + 3 z ⋅ ∂ ∂ y ( x + 2 y + 3 z )

∂ w ∂ y = 2 x + 2 y + 3 z

E, finalmente, para encontrar w z

∂ w ∂ z = 1 x + 2 y + 3 z ⋅ ∂ ∂ z ( x + 2 y + 3 z )

∂ w ∂ z = 3 x + 2 y + 3 z

Resposta

w x = 1 x + 2 y + 3 z

w y = 2 x + 2 y + 3 z

w z = 3 x + 2 y + 3 z

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