Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 32
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!
Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.
Ou seja: Para achar a derivada parcial em a gente vai tratar as outras variáveis como se fossem números quaisquer e derivar normal em relação a .
Daí a gente faz isso para todas as variáveis e temos nossa resposta!
Passo 2
Temos a nossa a função
Observe que essa é uma função de variáveis e teremos uma derivada parcial para cada.
Começado pela derivada em , nós precisamos fixar (tratar como constante) as variáveis a e , assim teremos uma função que só depende de a :
Observe que o termo inteiro é uma constante.
Assim, derivando esta função em relação a , teremos:
Dessa forma, só precisamos repetir o processo para as outras variáveis e teremos todas as derivadas parciais!
Encontrando agora a derivada em , fixamos as variáveis a e , assim teremos uma função que só depende de a :
Onde buscamos a seguinte derivada parcial:
Mas veja que nesse caso não conseguimos separar e facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.
Lembrando do formato da regra da cadeia:
Se temos uma função
Onde podemos chamar
A derivada dessa função vai ser dada por:
O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”
Assim, temos a seguinte derivada:
Nos dando a derivada parcial em
E por fim, repetindo o processo para a variável :
Onde buscamos a seguinte derivada parcial:
Onde
Nos dando, por fim, a derivada parcial em