Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , y , z = x   s e n ( y - z )

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar as outras variáveis como se fossem números quaisquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para todas as variáveis e temos nossa resposta!

Passo 2

Temos a nossa a função

f x , y , z = x   s e n ( y - z )

Observe que essa é uma função de 3 variáveis e teremos uma derivada parcial para cada.

Começado pela derivada em x , nós precisamos fixar (tratar como constante) as variáveis a y e z , assim teremos uma função que só depende de a x :

f x = x   s e n ( y - z )

Observe que o termo s e n ( y - z ) inteiro é uma constante.

Assim, derivando esta função em relação a x , teremos:

d f d x = d   x s e n ( y - z ) d x

d f d x = s e n ( y - z ) d x d x

f x   = s e n ( y - z )

Dessa forma, só precisamos repetir o processo para as outras variáveis e teremos todas as derivadas parciais!

Encontrando agora a derivada em y , fixamos as variáveis a x e z , assim teremos uma função que só depende de a y :

f y = x   s e n ( y - z )

Onde buscamos a seguinte derivada parcial:

d f d y = x d s e n ( y - z ) d y

Mas veja que nesse caso não conseguimos separar z e y facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”

Assim, temos a seguinte derivada:

d   s e n y - z d y = d   ( y - z ) d y ⋅ d   s e n u d u

d   s e n y - z d y = 1 cos ⁡ u

Nos dando a derivada parcial em y

f y   = x cos ⁡ ( y - z )

E por fim, repetindo o processo para a variável z :

f z = x   s e n ( y - z )

Onde buscamos a seguinte derivada parcial:

d f d z = x d s e n ( y - z ) d z

Onde

d   s e n y - z d z = d   ( y - z ) d z ⋅ d   s e n u d u

d   s e n y - z d z = - 1 cos ⁡ u

Nos dando, por fim, a derivada parcial em z

f z   = - x cos ⁡ ( y - z )

Resposta

f x   = s e n ( y - z )

f y   = x cos ⁡ ( y - z )

f z   = - x cos ⁡ ( y - z )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

28. Seja f (x , y) = {[[(x y)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular (del f)/(del x) e (del f)/(del y) .
16. z = (x + y) e^(x + 2 y)
15. g (x , y) = a r c t g (y)/(x)
17. z = (x^2 y)/(x^2 + 2 y^2)
Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.2) f x , y = x 2 + y 2 - 10