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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 26

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela

nas funções dos Exercícios 1-30

f ( x , y ) = e y - y e x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos encontrar os pontos de máximo, mínimo e, pontos de sela para a equação:

f ( x , y ) = e y - y e x

Acompanhe!

Passo 2

Uma vez que a função f pode ser derivada em todos os pontos, os valores extremos ocorrem apenas, quando:

f x = 0  ou  f y = 0 .

Passo 3

Portanto:

f x ( x , y ) = - y e x = 0  e  f y ( x , y ) = e y - e x = 0 .

Passo 4

Como e x ≠ 0 , então na equação - y e x = 0 , somente o y pode assumir o valor 0 , assim substituiremos y na equação e y - e x = 0 , veja:

Passo 5

e 0 - e x = 0 e x = e 0 x = 0

Passo 6

Portanto, o ponto ( 0,0 ) é o ponto onde a função f pode assumir um valor extremo.

Passo 7

Para avaliar se o ponto ( 0,0 ) realmente assume um valor extremo, calcula-se as segundas derivadas parciais como a seguir:

f ( x , y ) = e y - y e x f x ( x , y ) = - y e x f x x ( x , y ) = - y e x f x x ( 0,0 ) = - ( 0 ) e 0 f x x ( 0,0 ) = 0 f ( x , y ) = e y - y e x f y ( x , y ) = e y - e x f y y ( x , y ) = e y f y y ( 0,0 ) = e 0 f y y ( 0,0 ) = 1 f 1 ( x , y ) = e y - y e x f x ( x , y ) = - y e x f x y ( x , y ) = - e x f x y ( 0,0 ) = - e 0 f x y ( 0,0 ) = - 1

Passo 8

Veja que o discriminante de f no ponto ( a , b ) = ( 0,0 ) é:

f x x f y y - f x y 2 = ( 0 ) × ( 1 ) - ( - 1 ) 2 f x x f y y - f x y 2 = - 1

Passo 9

Sendo assim, f x x f y y - f x y 2 < 0 , segundo o teorema 11 , o ponto ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Resposta

Resposta nos passos.

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