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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 43

Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46

  1. Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?
  2. Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a introdução dos Exercícios 35 e 36.

y = x 2 / 3 - x - 1 1 / 3

Passo 1

Para responder a letra a, vamos precisar fazer um esboço da função em um gráfico

Olhando para o gráfico parece que a função possui tangente vertical em x = 0 e em x = 1 .

Passo 2

Agora precisamos concluir com cálculos se o que a gente definiu na letra a está correto. Para isso precisamos lembrar da definição de derivada

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 3

Vamos substituir a função f x na equação acima

m = lim h → 0 ⁡ x + h 2 / 3 - x + h - 1 1 / 3 - x 2 / 3 - x - 1 1 / 3 h

Em seguida vamos substituir o valor de x = 0 definido

m = lim h → 0 ⁡ 0 + h 2 / 3 - 0 + h - 1 1 / 3 - 0 2 / 3 - 0 - 1 1 / 3 h

m = lim h → 0 ⁡ h 2 / 3 - h - 1 1 / 3 - 1 h

m = lim h → 0 ⁡ 1 h 1 / 3 - h - 1 1 / 3 h - 1 h

Passo 4

Aplicando os limites laterais

m = lim h → 0 - ⁡ 1 h 1 / 3 - h - 1 1 / 3 h - 1 h = ∞

m = lim h → 0 + ⁡ 1 h 1 / 3 - h - 1 1 / 3 h - 1 h = - ∞

lim h → 0 + ⁡ 1 h 1 / 3 - h - 1 1 / 3 h - 1 h ≠ lim h → 0 - ⁡ 1 h 1 / 3 - h - 1 1 / 3 h - 1 h

Como os limites laterais são diferentes, f x não possui limite nem tangente vertical em x = 0 .

Passo 5

Agora vamos substituir o valor de x = 1 definido

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 / 3 - 1 + h - 1 1 / 3 - 1 2 / 3 - 1 - 1 1 / 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 / 3 - h 1 / 3 - 1 h

m = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 / 3 h - 1 h 2 / 3 - 1 h

Passo 6

Aplicando os limites laterais

m = lim h → 0 - ⁡ 1 + h 2 / 3 h - 1 h 2 / 3 - 1 h = - ∞

m = lim h → 0 + ⁡ 1 + h 2 / 3 h - 1 h 2 / 3 - 1 h = - ∞

lim h → 0 + ⁡ 1 + h 2 / 3 h - 1 h 2 / 3 - 1 h = lim h → 0 - ⁡ 1 + h 2 / 3 h - 1 h 2 / 3 - 1 h

Como os limites laterais são iguais, f x possui limite e como ele tende a ∞ , f x possui tangente vertical em x = 1 .

Resposta

f ( x ) não possui tangente vertical em x = 0

f ( x ) possui tangente vertical em x = 1

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