Encontre a transformada de Laplace de f(t) = cos(alpha t) , em que alpha é uma constante real.

Passo 1

Fala galerinha!

Aqui temos uma questão de Transformada de Laplace e, nesse conteúdo, temos muitos resultados tabelados e disponíveis, que podem ser usados. E a transformada de f t = cos ⁡ α t é uma delas. Mas não faz sentido eu te dar uma resposta sem nenhuma explicação, então vamos calcular esse resultado, pela definição de Transformada de Laplace.

A transformada de Laplace de uma função f ( t ) é definida pela seguinte integral:

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e - s t f t   d t

Portanto, se a gente aplicar essa definição na nossa função, vamos ter:

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e - s t cos ⁡ α t   d t

Credo! E como a gente resolve essa coisa horrorosa?

Calma! Vamos ter que lembrar da seguinte relação:

cos ⁡ α t = e i α t + e - i α t 2

E você pensa: “PIOROU”! Mas não piorou não, lembra que integrar exponenciais não é algo tão complexo assim.

O que a gente vai fazer então é substituir essa relação na integral e resolver. Vamos lá!

Passo 2

Fazendo a substituição que acabamos de falar, temos:

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e - s t cos ⁡ α t   d t = ∫ 0 ∞ e - s t e i α t + e - i α t 2   d t

Agora reorganizando as potências:

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e i α t - s t + e - i α t - s t 2   d t

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t 2   d t

Tirando a constante da integral:

L c o s α t = 1 2 ∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t

Agora temos que integrar, mas antes, precisamos perceber que essa é uma integral imprópria (infinito nos limites de integração). O jeito de resolver isso é trocar o infinito por uma constante qualquer e depois fazer o limite dessa constante indo pro infinito:

∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t = lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s - i α t + e - s + i α t   d t

Passo 3

Primeiro vamos focar só na integral:

∫ 0 A e - s - i α t + e - s + i α t   d t

Integrando o primeiro termo, temos:

∫ e - s - i α t d t = 1 - s - i α e - s - i α t

E o segundo termo:

∫ e - s + i α t d t = 1 - s + i α e - s + i α t

Agora voltando pra expressão original, vamos substituir os limites de integração:

∫ 0 A e - s - i α t + e - s + i α t   d t = l i m A → ∞ 1 - s - i α e - s - i α t + 1 - s + i α e - s + i α t 0 A

= l i m A → ∞ 1 - s - i α e - s - i α A + 1 - s + i α e - s + i α A - 1 - s - i α e 0 - 1 - s + i α e 0

Como e 0 = 1 , esses termos ficam constantes e podem sair do limite:

= - 1 - s - i α - 1 - s + i α + l i m A → ∞ 1 - s - i α e - s - i α A + 1 - s + i α e - s + i α A

Eu sei que essa expressão tá horrorosa, mas ambos os limites a seguir são mais simples do que parecem e tem até essa regrinha geral da Integral Básica Exponencial:

∫ 0 ∞ e - b t d t = lim B → ∞ ⁡ ∫ 0 B e - b t   d t = l i m B → ∞ 1 - b e - B t + 1 b = 1 b

Isso acontece porque com o expoente indo pro infinito negativo, o primeiro termo se torna nulo. E pela mesma lógica, os dois termos dentro do limite, que tem essa mesma forma, também vão ser nulos. E a integral fica:

∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t = - 1 - s - i α - 1 - s + i α

∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t = 1 s - i α + 1 s + i α

Ufa! Agora ficou mais bonitinho. No próximo passo, vamos apenas arrumar essa expressão.

Passo 4

Até aqui, chegamos em:

∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t = 1 s - i α + 1 s + i α

Sendo que:

L c o s α t = 1 2 ∫ 0 ∞ e - s - i α t + e - s + i α t d t

Tinha esquecido desse ½ néééé? Eu sei! Muito cuidado nessa hora. É aí que mora o perigo!

Nossa transformada então fica assim:

L c o s α t = 1 2 1 s - i α + 1 s + i α

Igualando denominadores:

L c o s α t = 1 2 s + i α + ( s - i α ) s - i α s + i α

L c o s α t = 1 2 2 s s - i α s + i α

L c o s α t = s s - i α s + i α

Fazendo a distributiva no denominador:

s - i α s + i α = s 2 + s i α - s i α + i α 2 = s 2 + i α 2

Mas dos produtos notáveis, a gente tem que i 2 = - 1 :

s - i α s + i α = s 2 - α 2

Portanto, nossa resposta final fica assim:

L c o s α t = s s 2 - α 2

Resposta

L c o s α t = s s 2 + α 2

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