Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 6
Encontre a transformada de Laplace de , em que é uma constante real.
Passo 1
Vamos primeiro escrever a aplicação da transformada sobre a função :
Aquele limite aparece por conta do limite superior da integral ser infinito, ou seja, a integral é imprópria e precisamos escrever ela num intervalo finito.
Podemos resolver essa integral usando o método de integração por partes:
Passo 2
Vamos chamar de e de , a integral fica o seguinte:
A primeira parte do lado direito fica:
Isso porque o limite inferior zera a função seno, sobrando só o superior.
Precisamos agora estabelecer uma condição, . A gente precisa que a função exponencial do produto vá a zero, caso contrário, ou seja, , isso inverteria o sinal do expoente da função exponencial e faria com que o limite explodisse. E para o caso de , o limite não existe, porque:
A função seno não possui limite quando tende para infinito.
Passo 3
Nosso resultado então fica o seguinte:
Se a gente aplicar de novo a integração por partes, chamando de e de fica:
Agora a gente pega de novo o primeiro termo da direita e aplica os limites inferior e superior:
Podemos ver que pela condição que a gente estabeleceu para , a exponencial vai a zero de novo no primeiro termo ao aplicarmos o limite, fazendo o primeiro termo inteiro ir a zero, sobrando só .
Passo 4
Ficamos então com o seguinte:
Substituindo isso lá na nossa igualdade no início do Passo 3:
Podemos passar a integral do lado direito para o lado esquerdo:
E colocar o para fora da integral e do limite, já que para os dois é uma constante (estamos integrando em ):
Agora temos um fator comum, podemos colocar ele em evidência:
E isolar ele:
Essa é a mesma integral que estávamos começando a calcular lá no início da resolução, mas agora a gente tem a resposta e a condição que impomos para .