Encontre a transformada de Laplace de f t = c o s α t , em que α é uma constante real.

Passo 1

Vamos primeiro escrever a aplicação da transformada sobre a função f :

L c o s α t = ∫ 0 ∞ e - s t c o s α t   d t = lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t

Aquele limite aparece por conta do limite superior da integral ser infinito, ou seja, a integral é imprópria e precisamos escrever ela num intervalo finito.

Podemos resolver essa integral usando o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Vamos chamar e - s t de u e c o s α t de d v , a integral fica o seguinte:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t = lim A → ∞ ⁡ - e - s t s e n α t A 0 - ∫ 0 A s e - s t s e n α t d t

A primeira parte do lado direito fica:

l i m A → ∞ - e - s t s e n α t A 0 = lim A → ∞ ⁡ - e - s A s e n α A

Isso porque o limite inferior zera a função seno, sobrando só o superior.

Precisamos agora estabelecer uma condição, s > 0 . A gente precisa que a função exponencial do produto vá a zero, caso contrário, ou seja, s < 0 , isso inverteria o sinal do expoente da função exponencial e faria com que o limite explodisse. E para o caso de s = 0 , o limite não existe, porque:

lim A → ∞ ⁡ - e - 0 A s e n α A = l i m A → ∞ s e n α A

A função seno não possui limite quando A tende para infinito.

Passo 3

Nosso resultado então fica o seguinte:

l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t = - l i m A → ∞ ∫ 0 A s e - s t s e n α t d t

Se a gente aplicar de novo a integração por partes, chamando s e - s t de u e s e n α t de v fica:

- l i m A → ∞ ∫ 0 A s e - s t s e n α t d t = - l i m A → ∞ s e - s t c o s α t A 0 + ∫ 0 A s 2 e - s t c o s α t d t

Agora a gente pega de novo o primeiro termo da direita e aplica os limites inferior e superior:

l i m A → ∞ s e - s t c o s α t A 0 = l i m A → ∞ s e - s A c o s α A - s = - s

Podemos ver que pela condição que a gente estabeleceu para s , a exponencial vai a zero de novo no primeiro termo ao aplicarmos o limite, fazendo o primeiro termo inteiro ir a zero, sobrando só - s .

Passo 4

Ficamos então com o seguinte:

- l i m A → ∞ ∫ 0 A s e - s t s e n α t d t = - l i m A → ∞ ∫ 0 A s 2 e - s t c o s α t d t - s

Substituindo isso lá na nossa igualdade no início do Passo 3:

l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t = - l i m A → ∞ ∫ 0 A s 2 e - s t c o s α t d t - s

Podemos passar a integral do lado direito para o lado esquerdo:

l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t + l i m A → ∞ ∫ 0 A s 2 e - s t c o s α t d t = - s

E colocar o s 2 para fora da integral e do limite, já que para os dois s é uma constante (estamos integrando em t ):

l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t + s 2 l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t d t = - s

Agora temos um fator comum, podemos colocar ele em evidência:

s 2 + 1 l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t = - s

E isolar ele:

L c o s α t = l i m A → ∞ ∫ 0 A e - s t c o s α t   d t = - s s 2 + α 2 ,     α > 0

Essa é a mesma integral que estávamos começando a calcular lá no início da resolução, mas agora a gente tem a resposta e a condição que impomos para s .

Resposta

L c o s α t = - s s 2 + α 2

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