Encontre a transformada de Laplace de , em que é uma constante real.
Passo 1
Fala galerinha!
Aqui temos uma questão de Transformada de Laplace e, nesse conteúdo, temos muitos resultados tabelados e disponíveis, que podem ser usados. E a transformada de é uma delas. Mas não faz sentido eu te dar uma resposta sem nenhuma explicação, então vamos calcular esse resultado, pela definição de Transformada de Laplace.
A transformada de Laplace de uma função é definida pela seguinte integral:
Portanto, se a gente aplicar essa definição na nossa função, vamos ter:
Credo! E como a gente resolve essa coisa horrorosa?
Calma! Vamos ter que lembrar da seguinte relação:
E você pensa: “PIOROU”! Mas não piorou não, lembra que integrar exponenciais não é algo tão complexo assim.
O que a gente vai fazer então é substituir essa relação na integral e resolver. Vamos lá!
Passo 2
Fazendo a substituição que acabamos de falar, temos:
Agora reorganizando as potências:
Tirando a constante da integral:
Agora temos que integrar, mas antes, precisamos perceber que essa é uma integral imprópria (infinito nos limites de integração). O jeito de resolver isso é trocar o infinito por uma constante qualquer e depois fazer o limite dessa constante indo pro infinito:
Passo 3
Primeiro vamos focar só na integral:
Integrando o primeiro termo, temos:
E o segundo termo:
Agora voltando pra expressão original, vamos substituir os limites de integração:
Como , esses termos ficam constantes e podem sair do limite:
Eu sei que essa expressão tá horrorosa, mas ambos os limites a seguir são mais simples do que parecem e tem até essa regrinha geral da Integral Básica Exponencial:
Isso acontece porque com o expoente indo pro infinito negativo, o primeiro termo se torna nulo. E pela mesma lógica, os dois termos dentro do limite, que tem essa mesma forma, também vão ser nulos. E a integral fica:
Ufa! Agora ficou mais bonitinho. No próximo passo, vamos apenas arrumar essa expressão.
Passo 4
Até aqui, chegamos em:
Sendo que:
Tinha esquecido desse néééé? Eu sei! Muito cuidado nessa hora. É aí que mora o perigo!
Nossa transformada então fica assim:
Igualando denominadores:
Fazendo a distributiva no denominador:
Mas dos produtos notáveis, a gente tem que :
Portanto, nossa resposta final fica assim: