A função gama, denotada por , é definida pela integral

A integral converge quando para todo . Para , também é imprópria em , já que o integrando torna-se ilimitado quando . No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em para .

(a) Mostre que, para ,

(b) Mostre que .

(c) Se for um inteiro positivo , mostre que

Como também está definido quando não é inteiro, essa função fornece uma extensão da função fatoril para valores não inteiros de variável independente. Note também que é consistente definir .

(d) Mostre que, para ,

Assim, pode ser determinado para todos os valores positivos de se for conhecido em um único intervalo de comprimento um por exemplo, em . É possível mosrrar que . Encontre e .

b) é o caso para , substituindo ele na integral temos:

Resolvendo a integral, ficamos com:

Ao aplicarmos os limites o termo de cima tende a zero e o de baixo será , com o sinal de menos de fora, sobra :

c) Nesse caso podemos usar o resultado do que encontramos na letra (a), basta substituirmos , temos:

E vamos subtraindo até o ponto em que , onde é o número de vezes que estamos subtraindo de :

Sabemos do resultado da letra (b) que o que mostra que:

d) Aqui a situação é parecida, vamos começar de e usar os resultados das letras anteriores:

Estamos fazendo exatamente como fizemos na letra (c), agora repetimos o processo até que , ou seja, , sendo o número de vezes que estamos subtraindo e aplicando o resultado da letra (a):

Agora passamos dividindo para a esquerda:

E demonstramos o que queríamos.

Para o caso em que , também podemos usar o resultado da letra (a), da seguinte forma, se para esse caso:

E sabemos que:

Substituindo:

Então:

E o mesmo vale para , basta fazermos:

Até , fica: