A função gama, denotada por Γ ( p ) , é definida pela integral Γ p + 1 = ∫ 0 ∞ e - x x p d x A integral converge quando x → ∞ para todo p . Para p0 , também é imprópria em x = 0 , já que o integrando torna-se ilimitado quando x → 0 . No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 para p- 1 .(a) Mostre que, para p0 , Γ p + 1 = Γ ( p ) (b) Mostre que Γ 1 = 1 .(c) Se p for um inteiro positivo n , mostre que Γ n + 1 = n ! Como Γ ( p ) também está definido quando p não é inteiro, essa função fornece uma extensão da função fatoril para valores não inteiros de variável independente. Note também que é consistente definir 0 ! = 1 .(d) Mostre que, para p0 , p p + 1 p + 2 … p + n - 1 = Γ p + n Γ p . Assim, Γ ( p ) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se Γ p for conhecido em um único intervalo de comprimento um – por exemplo, em 0p ≤ 1 . É possível mosrrar que Γ 1 2 = π . Encontre Γ 3 2 e Γ 11 2 .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 30

A função gama, denotada por , é definida pela integral

A integral converge quando para todo . Para , também é imprópria em , já que o integrando torna-se ilimitado quando . No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em para .

(a) Mostre que, para ,

(b) Mostre que .

(c) Se for um inteiro positivo , mostre que

Como também está definido quando não é inteiro, essa função fornece uma extensão da função fatoril para valores não inteiros de variável independente. Note também que é consistente definir .

(d) Mostre que, para ,

Assim, pode ser determinado para todos os valores positivos de se for conhecido em um único intervalo de comprimento um por exemplo, em . É possível mosrrar que . Encontre e .

Passo 1

a) Bom, podemos mostrar o que o enunciado pede usando o método de integração por partes:

Chamamos a função de e a de , vai ficar:

Como se trata de uma integral imprópria, precisamos aplicar o limite:

Podemos afirmar que o termo do meio vai a zero no limite, o argumento informal é a função exponencial vai mais rapidamente a zero do que cresce para o infinito, a demonstração formal é trabalhosa e vamos usar apenas a afirmação.

Então sobra:

Mas a integral da direita é exatamente , como temos o multiplicando ela, o resultado fica:

Passo 2

b) é o caso para , substituindo ele na integral temos:

Resolvendo a integral, ficamos com:

Ao aplicarmos os limites o termo de cima tende a zero e o de baixo será , com o sinal de menos de fora, sobra :

Passo 3

c) Nesse caso podemos usar o resultado do que encontramos na letra (a), basta substituirmos , temos:

E vamos subtraindo até o ponto em que , onde é o número de vezes que estamos subtraindo de :

Sabemos do resultado da letra (b) que o que mostra que:

Passo 4

d) Aqui a situação é parecida, vamos começar de e usar os resultados das letras anteriores:

Estamos fazendo exatamente como fizemos na letra (c), agora repetimos o processo até que , ou seja, , sendo o número de vezes que estamos subtraindo e aplicando o resultado da letra (a):

Agora passamos dividindo para a esquerda:

E demonstramos o que queríamos.

Para o caso em que , também podemos usar o resultado da letra (a), da seguinte forma, se para esse caso:

E sabemos que:

Substituindo:

Então:

E o mesmo vale para , basta fazermos:

Até , fica:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere a transformada de Laplace de t p em que p- 1 .A - Usando o problema 30, mostre que L t p = ∫ 0 ∞ e - s t t pd t = 1 s p + 1 ∫ 0 ∞ e - x x p d x = = Γ p + 1 / s p + 1 ,s0 B - Seja p um inteir

Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir: a )f( t )=t b )f( t )=t 2 c )f t = t n Em que n é um inteiro positivo.

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .5. f t = s e nt ,0 ≤ tπ 0 ,t ≥ π

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .9.