Suponha que e são contínuas em de ordem exponencial quando . Integrando por partes, mostre que, se , então . O resultado continua valido sob condições menos restritivas, como as do Teorema 6.1.2.

Aplicamos a integração por partes:

Chamamos de e de , vai ficar assim:

Como a função e a sua derivada se comportam exponencialmente quando , ao substituirmos limites de integração no termo do meio, ficamos com:

O que fizemos foi substituir em , ela se transforma numa exponencial com uma constante arbitraria que determina o sinal e o quanto a função cresce à medida que cresce. Mas para o limite não podemos afirmar isso porque o enunciado não disse nada

Para que o limite exista, precisamos impor uma condição nas exponencias, se resolvermos o produto, ficamos com:

Como dá para ver, precisamos que a exponencial vá a zero quando , caso contrário ela explode no infinito e a integral diverge, então:

Essa é nossa condição. Isso faz com que o primeiro termo tenda para zero, mas e o segundo termo?

Nesse caso, como não tem dentro do limite, ele some, mantendo o que está dentro, e como a exponencial possui zero no expoente, ela é 1, assim:

E o resultado então fica:

Agora aplicamos o limite que o enunciado pede na função :

Podemos colocar o limite sobre cada termo, e como a integral do segundo não depende de , só de podemos colocar ele para dentro da integral:

Podemos ver que o primeiro termo tende a zero, e o conteúdo da integral também irá, porque sabemos que se comporta exponencialmente no infinito, caso não soubéssemos como cresce na reta real, não poderíamos aplicar esse limite diretamente.

Assim: