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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 32

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f ( t ) = 1   -   u 1 ( t ) + . . . + u 2 n ( t ) - u 2 n + 1 ( t ) = 1 + ∑ k = 1 2 n + 1 ( - 1 ) k u k ( t )

Passo 1

A transformada de Laplace de uma função f (t) é definida como:

F ( s ) = ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t ) d t

Passo 2

Sabemos que, para que essa integral convirja, é necessário que s > 0 . Substitua a função fornecida por f ( t ) , substituindo u k ( t ) pela função Heaviside H ( t - k ) .

F ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t 1 + ∑ k = 1 2 n + 1 ( - 1 ) k H ( t - k ) d t = ∫ 0 ∞ e - s t d t + ∫ 0 ∞ e - s t ∑ k = 1 2 n + 1 ( - 1 ) k H ( t - k )   d t

Resolvendo as integrais, chegamos em:

F ( s ) = 1 s + ∑ k = 1 2 n + 1 ( - 1 ) k ( 1 s e - k s )

F ( s ) = 1 s + 1 s ∑ k = 1 2 n + 1 ( - 1 ) k e - k s

F ( s ) = 1 s - 1   +   ( - e - s ) ( 2 n + 1 ) + 1 - 1   +   ( - e - s ) = 1   -   e - 2 s ( n + 1 ) s ( 1 + e - s )

Resposta

F ( s ) = 1   -   e - 2 s ( n + 1 ) s ( 1 + e - s )

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