Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 10

Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução:

F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4

Passo 1

Antes de resolver o problema vamos relembrar o que é o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se existem G s = L g ( t ) e H s = L h ( t ) para s > a ≥ 0 , e

F s = G s H s = L f ( t )

Então

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

e h ( t ) é conhecida como a convolução de f ( t ) e g ( t ) .

Vamos então tentar separar a função F ( s ) em duas transformadas conhecidas G ( s ) e H ( s ) ; calcular as transformadas inversas de G ( s ) e H ( s ) para encontrar g ( t ) e h ( t ) ; no final, vamos aplicar o teorema de convolução para obter f ( t ) . Vamos lá???

Passo 2

A equação dada é:

F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4

F s = 1 s + 1 2 x 1 ( s 2 + 4 )

F s = 1 s + 1 2 x 1 2 x 2 ( s 2 + 4 )

F s = G s x H ( s )

Pela tabela 6.2.1 do livro:

Para G s = 1 s - a 2 → g t = t e a t e H s = c a s 2 + a 2 → h t = c sen ⁡ a t . Então, para o nosso problema:

G s = 1 s + 1 2 → a = - 1 → g t = t e - t

H s = 1 2 x 2 ( s 2 + 4 ) → a = 2   e   c = 1 2 → h t = 1 2 sen ⁡ 2 t

Passo 3

Agora que encontramos g ( t ) e h ( t ) podemos aplicar o teorema sobre a convolução:

f t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

f t = ∫ 0 t t - τ e - t - τ 1 2 sen ⁡ 2 τ d τ

f t = 1 2 ∫ 0 t t - τ e - ( t ) e τ sen ⁡ 2 τ d τ

f t = 1 2 e - ( t ) ∫ 0 t t - τ e τ sen ⁡ 2 τ d τ

Resposta

A transformada inversa da função dada é f t = 1 2 e - ( t ) ∫ 0 t t - τ e τ sen ⁡ 2 τ d τ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. o n d as e n o i d a ls e m ir e t i f i c a d a
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. L { 1 * e - 2 t }
Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. f t = s e n ( t ) f t + 2 π = f ( t )
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral. L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) }
Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada. o n d as e n o i d a lr e t i f i c a d a