Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 21

Considere a equação

Em que e são funções conhecidas e deve ser determinada. Como a função desconhecida aparece debaixo do sinal da integral, a equação dada é dita uma equação integral; em particular, ela pertence à classe de equações integrais conhecidas como equações integrais de Volterra. Calcule a transformada de Laplace da equação integral dada e obtenha uma expressão para em função das transformadas e das funções dadas e . A transformada inversa de é a solução da equação original.

Passo 1

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que: se e existem e

Então:

Tudo bem???

Passo 2

Então, nossa equação se reduz à:

Se aplicarmos a transformada de Laplace ficamos com:

Passo 3

Como já vimos pelo teorema sobre a convolução:

Igualando as duas equações:

Se aplicarmos a transformada inversa:

Resposta

Para duas funções conhecidas e , a solução para a equação de Volterra é:

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