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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 8

Suponha que

w = x 2 - y 2 + 4 z + t    e    x + 2 z + t = 25 . 

Mostre que cada uma das equações

∂ w ∂ x = 2 x - 1  e  ∂ w ∂ x = 2 x - 2

fornece ∂w/∂x, dependendo de quais variáveis são escolhidas

como dependentes e quais variáveis são escolhidas como independentes. Identifique as variáveis independentes em cada um

dos casos.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, vamos supor que w = x 2 - y 2 + 4 z + t e x + 2 z + t = 25 . Mostraremos então que ∂ w ∂ x = 2 x - 1 e que ∂ w ∂ x = 2 x - 2 Acompanhe!

Passo 2

Se x , y e z são independentes, então a derivada valerá:

∂ w ∂ x y , z = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ x .

Passo 3

Agora, substituindo, teremos:

∂ w ∂ x y , z = ( 2 x ) ( 1 ) + ( - 2 y ) ( 0 ) + ( 4 ) ( 0 ) + ( 1 ) ∂ t ∂ x . ∂ w ∂ x y , z = 2 x + ∂ t ∂ x

Já, derivando, vamos chegar a:

1 + 0 + ∂ t ∂ x = 0 ∂ t ∂ x = - 1

que leva a ∂ w ∂ x y , z = 2 x - 1

Por outro lado, x , y e t são independentes, então:

∂ w ∂ x y , t = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ x ∂ w ∂ x y , t = ( 2 x ) ( 1 ) + ( - 2 y ) ( 0 ) + 4 ∂ z ∂ x + ( 1 ) ( 0 ) ∂ w ∂ x y , t = 2 x + 4 ∂ z ∂ x

Passo 4

Derivando x + 2 z + t = 25 , teremos, então:

1 + 2 ∂ z ∂ x + 0 = 0 ∂ z ∂ x = - 1 2

A resposta para o nosso exercício é:

∂ w ∂ x y , J = 2 x + 4 - 1 2 = 2 x - 2

Resposta

Resposta nos passos.

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