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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 12

Suponha que f ( x , y , z , w ) = 0 e g ( x , y , z , w ) = 0 , determine z e w como funções deriváveis das variáveis independentes x e y e suponha que

∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z ≠ 0

Mostre que

∂ z ∂ x y = - ∂ f ∂ x ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ x ∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z

e

∂ w ∂ y x = - ∂ f ∂ z ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y ∂ g ∂ z ∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos supor que f ( x , y , z , w ) = 0 , g ( x , y , z , w ) = 0 determina z e w , como funções diferenciáveis, independentes de x e y . Então, iremos supor também que:

∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z ≠ 0

Passo 2

Veja que:

∂ z ∂ x y = - ∂ f ∂ x ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ x ∂ g ∂ z ∂ f ∂ w ∂ g ∂ w ∂ z ∂ E ∂ w ∂ y x = - ∂ f ∂ z ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y ∂ g ∂ z ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z

Passo 3

Seja x e y independentes, logo, f ( x , y , z , w ) = 0 , g ( x , y , z , w ) = 0 terão as seguintes derivadas, repare:

∂ f ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x = 0 ∂ g ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ g ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ g ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ x = ∂ g ∂ x + ∂ g ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ x = 0

As equações se reduzem para o seguinte sistema considerando ∂ y ∂ x = 0 :

∂ f ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x = - ∂ f ∂ x ∂ g ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ x = - ∂ g ∂ x

Resolveremos o sistema agora para ∂ z ∂ x y

∂ z ∂ x y = - ∂ f ∂ x ∂ g ∂ w + ∂ g ∂ x ∂ f ∂ w ∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ g ∂ z ∂ f ∂ w

Portanto, a resposta para o nosso exercício é ∂ z ∂ x y = - ∂ f ∂ x ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ x ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z como pede o enunciado.

Passo 4

Da mesma maneira, temos para f ( x , y , z , w ) = 0 , g ( x , y , z , w ) = 0 e ∂ x ∂ y = 0 as seguintes derivadas:

∂ f ∂ x ∂ x ∂ y + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ y + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y = ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y = 0 ∂ g ∂ y + ∂ g ∂ z ∂ z ∂ y + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ y = 0

E o sistema se reduz a:

∂ f ∂ z ∂ z ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y = - ∂ f ∂ y ∂ g ∂ z ∂ z ∂ y + ∂ g ∂ w ∂ w ∂ y = - ∂ g ∂ y

Resolveremos o sistema agora para encontrarmos ∂ w ∂ y x :

∂ w ∂ y x = - ∂ f ∂ z ∂ g ∂ y + ∂ g ∂ z ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ∂ g ∂ w - ∂ g ∂ z ∂ f ∂ w

∂ f ∂ z ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y ∂ g ∂ z Resposta: ∂ w ∂ y x = - ∂ f ∂ z ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y ∂ g ∂ z ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ w ∂ g ∂ z como o enunciado pediu.

Resposta

Resposta nos passos.

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