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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 5

Encontrea. ((del w)/(del y))_x b. ((del w)/(del y)) = no ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) se

w = x^2 y^2 + y z - z^3 e x^2 + y^2 + z^2 = 6

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos(a) ((del w)/(del y))_x (b) ((del w)/(del y))_z No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) se w = x^2 y^2 + y z - z^3 e x^2 + y^2 + z^2 = 6

Passo 2

(a)diagrama é:

([[x],[y]]) -> ([[x,=,x],[y,=,y],[z,=,z,(,x,,,y,)]]) -> w

A derivada será então:

[[,((del w)/(del y))_x,=,(del w)/(del x),(del x)/(del y),+,(del w)/(del y),(del y)/(del y),+,(del w)/(del z),(del z)/(del y)],[,((del w)/(del y))_x,=,(2 x y^2),(,0,),+,(2 x^2 y + z),(,1,),+,(y - 3 z^2),(del z)/(del y)],[,((del w)/(del y))_x,=,2,x^2,y,+,z,+,(y - 3 z^2),(del z)/(del y)]]

Passo 3

Substituindo os valores chegamos em:

[[,,(,2,x,),(del x)/(del y),+,2,y,+,(,2,z,),(del z)/(del y),=,0],[,(del x)/(del y),=,0,o que leva a,2,y,+,(,2,z,),(del z)/(del y),=,0],[,(del z)/(del y),=,-,(y)/(z)]]

No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) temos então que

[[,(del z)/(del y),=,-,(1)/(- 1)],[,(del z)/(del y),=,1]]

Substituindo os valores chegamos a:

[[,(((del w)/(del x))_x|_( 4,2 , 1 , - 1 ),=,[( 2 ) ( 2 )^2 ( 1 ) + ( - 1 )],+,[1 - 3 ( - 1 )^2]_( 1 )],[,Resposta:,(((del w)/(del x))_x|_( 4,2 , 1 , - 1 ),=,5]]

Passo 4

(b)diagrama é:

([[y],[z]]) -> ([[x,=,x,(,y,,,z,)],[y,=,y],[z,=,z]]) -> w

E a derivada será então:

[[,((del w)/(del y))_z,=,(del w)/(del x),(del x)/(del y),+,(del w)/(del y),(del y)/(del y),+,(del w)/(del z),(del z)/(del y)],[,((del w)/(del y))_z,=,(2 x y^2),(del x)/(del y),+,(2 x^2 y + z),(,1,),+,(y - 3 z^2),(,0,)],[,((del w)/(del y))_z,=,(2 x^2 y),(del x)/(del y),+,2,x^2,y,+,z]]

Passo 5

Substituindo os valores temos:

[[,,(,2,x,),(del x)/(del y),+,2,y,+,(,2,z,),(del z)/(del y),=,0],[,E,(del z)/(del y),=,0,,,o que leva a],[,,(,2,x,),(del x)/(del y),+,2,y,=,0],[,(del x)/(del y),=,-,(y)/(x)]]

No ponto ( w , x , y , z ) = ( 4,2 , 1 , - 1 ) temos que (del x)/(del y) = - (1)/(2) . Substituindo os valores temos

[[,(((del w)/(del y)) z|_( 4,2 , 1 , - 1 ),=,(,2,),(,2,),(,1,)^2,(- (1)/(2)),+,(,2,),(,2,)^2,(,1,),+,(,-,1,)],[,(((del w)/(del y))_z|_( 4,2 , 1 , - 1 ),=,5]]

Resposta

Resposta nos passos.

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