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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 4

Encontre ( f - 1 ) ' ( x )   usando a Fórmula 2 e confira sua resposta derivando diretamente f - 1 .

Se:

f x = l n ⁡ ( 2 x + 1 )

Passo 1

A primeira coisa que faremos nesse problema é inverter x   por   y :

f x = l n ⁡ ( 2 x + 1 )

Invertendo os termos, temos:

x = l n ⁡ ( 2 y + 1 )

Multiplicando os dois lados da equação por exponencial e isolando o y na equação invertida, ficamos com:

e x = 2 y + 1

f - 1 = y = e x - 1 2

Esse valor é o nosso f - 1 .

Passo 2

O próximo passo, é tirar a derivada da função:

f x = ln ⁡ 2 x + 1

f ' x = 2 2 x + 1

Aplicando na fórmula para encontrar ( f - 1 ) ' ( x )   :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' ( f - 1 x )

Sabendo a nossa derivada, substituímos o valor 2 x - 3 por x :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' e x - 1 2 = 2 . 1 2 e x - 1 2 + 1 2 = e x 2

Passo 3

Quando diferenciamos diretamente ( f - 1 ) :

y = e x - 1 2

y ' = e x 2

Resposta

y ' = e x 2

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