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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 34

Encontre d y d x usando o método da derivação logarítimica:

y = ( x 2 + 3 ) l n ( x )

Passo 1

A técnica de diferenciação logarítimica consiste em aplicar a função logaritimo natural de ambos os lados da função, permitindo aplicar propriedades importantes de logaritimo para facilitar o calculo da derivada.

Se a função :

y = ( x 2 + 3 ) l n ( x )

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( x 2 + 3 ) ln ⁡ x

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ⁡ ( y ) = ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ x 2 + 3

Aplicando a derivada em ambos os lados:

d d x ln ⁡ y = d d x ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ x 2 + 3

Resolvendo as derivadas, e aplicando a regra do produto, ficamos com:

1 y . d y d x = 1 x . l n ⁡ ( x 2 + 3 ) + l n ⁡ ( x ) . 2 x x 2 + 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por y :

d y d x = l n ⁡ ( x 2 + 3 ) x + l n ⁡ ( x ) . 2 x x 2 + 3 .   ( x 2 + 3 ) l n ( x )

Resposta

d y d x = l n ⁡ ( x 2 + 3 ) x + l n ⁡ ( x ) . 2 x x 2 + 3 .   ( x 2 + 3 ) l n ( x )

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