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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 8

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 5-8 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

8. a n = 1 3 n ,   s e   n   é   í m p a r ,   a n = n 3 n   s e   n   é   p a r

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja ∑ a n a série fornecida no enunciado, onde

a n = 1 3 n ,     s e   n   é   í m p a r n 3 n ,     s e   n   é   p a r

Podemos perceber que a série pode ser dividida em

∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n + 1   e   ∑ n = 1 ∞ 2 n 3 2 n

Claramente a primeira subsérie é uma série geométrica convergente e para a segunda série aplicamos o teste da raiz. Vamos relembrar o teste da raíz, seja   ∑ a n uma série qualquer e supondo que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ρ

Temos duas possibilidades:

a )   S e   ρ < 1 ,   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e

b )   S e   ρ > 1 ,   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Passo 2

Para a segunda série nós temos que

lim n → ∞ ⁡ 2 n 3 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 2 n n n 9

Desenvolvendo os termos, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ 2 n n n 9 = 1 ∙ 1 9 = 1 9 < 1

Portanto, a segunda subsérie converge pelo teste da raíz, logo, a série dada é convergente!

Resposta

Série convergente!

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Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.37. ∑ n = 1 ∞ - 3 n n !
Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.35. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n !
Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.38. ∑ n = 1 ∞ 2 n 3 n n n