Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 50bc
Enfocando conceitos
A função é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita:
E a função é definida como sendo a inversa da função cossecante restrita:
Use essas definições em todos os exercícios subsequentes que envolverem essas funções.
Mostre que:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Então, bora começar com essa letra , ok? Pra início de conversa, a questão pede pra gente provar que:
Pra isso, vamos definir que:
Por enquanto não precisamos nos preocupar com domínio e imagem da função, mas saiba que toda vez que invertemos trocamos eles, ok? Ali em cima, são conjuntos numéricos. Invertendo , temos:
Trocando e de lado, achamos:
E invertendo de novo, temos que:
E olha que bacana, achamos duas expressões diferentes pra , ambas com o mesmo domínio e imagem:
Portanto, é válido que:
Pra confirmar o domínio que o enunciado nos deu, basta ver que, em:
Ou seja, enquanto representa um arco, representa uma secante! De uma forma geral, pra um arco genérico, como temos:
Podemos encontrar os possíveis valores de se lembrarmos que a função cosseno está delimitada por:
Invertendo então, temos:
E ta na mão, se representa uma secante e toda secante de qualquer arco que seja é menor que ou maior que , então também será:
Passo 2
Agora vamos pra letra ! Começando por definir
Vemos ainda que a questão diz que arco cossecante é a inversa da cossecante limitada pra:
Galera, se limitamos o domínio, também limitamos a imagem. Veja que:
Portanto, nossa cossecante é bem descrita como sendo:
Vamos usar essa ideia então galera! Afinal se sabemos imagem e domínio de , sabemos de , basta inverter! Portanto, partindo de
Podemos inverter a função, ficando com:
Invertendo a função de novo, achamos:
Juntando isso com a primeira definição de , vemos que, de fato:
Resposta
Provado no desenvolvimento