Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f(x) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?

52. 2 / 3 - 4 / 18 + 8 / 81 - … + (-1)^(n-1) * (2^n) / (3^n)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série

2 3 - 4 18 + 8 81 - … + - 1 n - 1 2 n n 3 n + …  

A série dada tem a seguinte forma, com isso

x - x 2 2 + x 3 3 - … + - 1 n - 1 x n n + …  

Onde o ponto é x = 2 3 , portanto, a função requerida é

f x = x - x 2 2 + x 3 3 - … + - 1 n - 1 x n n + …  

E o ponto particular como x = 2 3 . A soma da série é dada por

x - x 2 2 + x 3 3 - … + - 1 n - 1 x n n + … = ln ⁡ 1 + x

Colocando x = 2 3 , nós temos que

ln ⁡ 1 + 2 3 = ln ⁡ 5 3 ≈ 0,510825624

Resposta

x - x 2 2 + x 3 3 - … + - 1 n - 1 x n n + … = ln ⁡ 1 + x ≈ 0,510825624

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