Verifique que ∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - x + C .

Passo 1

Para essa verificação podemos derivar os dois lados da equação a fim de se obter o mesmo resultado em ambos os lados da igualdade. Assim:

d d x ∫ ln ⁡ x   d x = d d x ( x ln ⁡   x - x + C ) ⇒ l n ⁡   x = ( 1 × ln ⁡ x + 1 x × x - 1 ) ⇒ l n ⁡   x = l n ⁡   x

Ou podemos ainda integrar por partes e verificar se chegamos no mesmo resultado da equação. Assim:

∫ ln ⁡ x   d x  

f = ln ⁡ x                 f ' = 1 x

g ' = 1                       g = x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 x × x d x = x ln ⁡ x - x + C

Lembre-se que a técnica de integração por partes é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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