Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 60

Encontre o valor médio de na região .

é delimitado pelas curvas , e .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo? , e

A questão pede para acharmos o valor médio da função:

Na região delimitada por:

Pra resolver isso, precisamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em um intervalo:

Que no nosso caso ficará:

Ou seja, falta pra gente achar o valor da área A. Essa área é a da região , então achando nosso gráfico da região é só calcularmos a integral dessa região, já que a integral é justamente a área abaixo da curva.

Além disso vamos precisar achar também os limites de integração da nossa integral dupla, que a gente também consegue analisando a região .

Bora?

Passo 2

Vamos começar pelos limites de integração que são dados pela região . Vamos antes de tudo plotar nossa região:

Neste caso, temos que o domínio de integração é a região entre o eixo e a parábola. Então:

Assim, a integral pode ser escrita como:

Passo 3

Vamos resolver nossa integral, começando pela “de dentro”, em relação a . Aqui nosso é tratado como constante. Resolvendo a integral em :

Aplicando os limites de integração:

Multiplicando pelo de fora dos parênteses:

Para calcular essa integral, vamos separar ela em duas, já que é uma propriedade da integral a gente poder escrever a integral da subtração com uma subtração de integrais:

Resolvendo a primeira integral:

Calculando nossa segunda integral, vamos fazer uma substituição para facilitar o processo:

Vamos chamar uma parte da nossa função de :

Derivando :

Isolando :

Assim,

Resolvendo a integral:

Voltando na nossa subtração de frações, temos:

Então nossa integral é:

Passo 4

Agora precisamos achar nossa área A, que é a área do domínio de integração. Como a área de é a que está abaixo da curva entre os valores de 1 e 2, vamos integrar essa função com o limite de integração nesses valores para achar a área: