Desenhe o sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da região de integração e para calcular a integral dupla.)

Essa é uma questão que teremos que recorrer os GeoGebra 3D Calculator para fazer esboços e calcular a integral. Fazendo um esboço das duas superfícies:

Na imagem acima estão os inputs digitados no Software.

Para achar as fronteiras da região de integração, vamos igualar as equações do paraboloide com o plano, porque assim a gente acha qual a interseção entre os sólidos e o plano :

Assim,

Olhando na nossa imagem lá do passo 1, podemos perceber que o formato do sólido no plano é um círculo, então vamos completar quadrados na equação que temos para chegarmos em um formato mais simples, assim a gente identifica o centro e o raio com mais facilidade:

Logo,

Desta forma, o domínio de integração será o disco com centro e raio :

Isolando como função de na equação da circunferência:

Então podemos dizer que varia entre a parte positiva e a negativa dessa equação.

Já varia no intervalo

Já que o círculo está com origem em e seu raio é . Portanto,

Fazendo a integral no computador: