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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 36b

  1. Encontre a soma parcial s 10 da série ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 . Estime o erro do uso de s 10 como uma aproximação da soma da série.

  2. Utilize (3) com n = 10 para dar uma estimativa melhorada da soma.

Passo 1

Pessoal, nós já fizemos o item (a) e agora queremos uma estimativa melhor do que a soma dos 10 primeiros termos.

Primeiro, precisamos relembrar a tal equação (3) que o enunciado diz:

s n + ∫ n + 1 ∞ f x d x ≤ s ≤ s n + ∫ n ∞ f x d x

Ou seja, vamos pegar uma das somas parciais e calcular duas integrais, pra descobrir um intervalo adequado pra nossa soma s .

Como já temos os resultados do item (a) pra n = 10 s 10 = 1 , 0820 , vamos usar:

s 10 + ∫ 1 1 ∞ f x d x ≤ s ≤ s 10 + ∫ 10 ∞ f x d x

Sendo que essa função de x é uma função associada ao termo geral da série

a n = 1 n 4

f x = 1 x 4

Então ficamos com:

s 10 + ∫ 11 ∞ 1 x 4 d x ≤ s ≤ s 10 + ∫ 10 ∞ 1 x 4 d x

Agora vamos calcular as integrais!

Passo 2

Primeiro repara que essas integrais são impróprias (limite superior infinito). Então temos que trocar o limite superior por uma variável finita t e depois fazer o limite dessa variável tendendo ao infinito t → ∞ :

∫ 11 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 11 t 1 x 4 d x

∫ 10 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 1 x 4 d x

Então ficamos com isso aqui:

s 10 + lim t → ∞ ⁡ ∫ 11 t 1 x 4 d x ≤ s ≤ s 10 + lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 1 x 4 d x

Passo 3

Então agora vamos integrar:

∫ 11 t 1 x 4 d x = ∫ 11 t x - 4 d x = x - 3 - 3 11 t

∫ 11 t 1 x 4 d x = t - 3 - 11 - 3 - 3 = 1 3 ∙ 11 3 - 1 3 t 3

Agora a mesma coisa pra outra integral:

∫ 10 t 1 x 4 d x = ∫ 10 t x - 4 d x = x - 3 - 3 10 t

∫ 10 t 1 x 4 d x = t - 3 - 1 0 - 3 - 3 = 1 3 ∙ 1 0 3 - 1 3 t 3

Agora os limites!

lim t → ∞ ⁡ ∫ 11 t 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 3 ∙ 11 3 - 1 3 t 3 = 1 3 ∙ 11 3

lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 1 x 4 d x = 1 3 ∙ 10 3 - 1 3 t 3 = 1 3 ∙ 10 3

Passo 4

s 10 + lim t → ∞ ⁡ ∫ 11 t 1 x 4 d x ≤ s ≤ s 10 + lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 1 x 4 d x

s 10 + 1 3 ∙ 11 3 ≤ s ≤ s 10 + 1 3 ∙ 10 3

Substituindo o resultado do item (a) que é s 10 = 1 , 0820

1 , 0820 + 1 3 ∙ 11 3 ≤ s ≤ 1 , 0820 + 1 3 ∙ 10 3

1 , 08229 ≤ s ≤ 1 , 08237

Agora, como sabemos que o valor da soma está entre os dois extremos que calculamos, vamos usar como uma melhor aproximação a média desses extremos, ou seja,

s 10 ≅ 1,08237 + 1 , 08229 2 = 1 , 08233

Resposta

s 10 ≅ 1 , 08233

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