Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n

Passo 1

Olá, galera! Tudo tranquilo?

Aqui vamos precisar começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.

Depois precisamos calcular a soma s n da série.

A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.

Olhando nossa sequência já vemos que precisaremos manipulá-la para entender se ela converge ou diverge. O fato de termos expoente n   no numerador ( 1 n = 1 )   e no denominador pode indicar que podemos colocar esse n para “fora” da nossa fração e ficaremos com algo parecido com o formato de uma série geométrica:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Fazemos isso porque quando temos séries geométricas nossa análise de convergência ou divergência se torna muito mais fácil, já que temos expressões prontas para isso.

Passo 2

Vamos nesse passo reescrever nossa série até chegarmos no formato de série geométrica:

1 ( 2 ) n = 1 2   n

Com a = 1 e r = 1 2     .

Passo 3

Agora vamos analisar a convergência dessa série:

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o r .

  • Para que ela convirja: r < 1
  • Para que ela divirja: r ≥ 1

Nesre caso r = 1 2 e sabemos que 1 2 < 1 , então a série converge.

Passo 4

Finalizamos então calculando a soma s n da série:

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a equação de soma para séries geométricas:

s n = a 1 - r

Fazendo a = 1 e r = 1 2

s n = 1 1 - 1 2

Fazendo a subtração de frações no denominador:

1 1 - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 2 2 - 1

Podemos ainda racionalizar, ou seja, retirar os radicais do denominador, multiplicando por 2 + 1 2 + 1 :

2 2 - 1 ⋅ 2 + 1 2 + 1 = 2 + 2 2 - 1

Portanto;

s n = 2 + 2

Resposta

A série converge e sua soma é:

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 ) n = 2 + 2

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