Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 24
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Olá, galera! Tudo tranquilo?
Aqui vamos precisar começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.
Depois precisamos calcular a soma da série.
A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.
Olhando nossa sequência já vemos que precisaremos manipulá-la para entender se ela converge ou diverge. O fato de termos expoente no numerador (e no denominador pode indicar que podemos colocar esse para “fora” da nossa fração e ficaremos com algo parecido com o formato de uma série geométrica:
Fazemos isso porque quando temos séries geométricas nossa análise de convergência ou divergência se torna muito mais fácil, já que temos expressões prontas para isso.
Passo 2
Vamos nesse passo reescrever nossa série até chegarmos no formato de série geométrica:
Com e .
Passo 3
Agora vamos analisar a convergência dessa série:
Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o .
- Para que ela convirja:
- Para que ela divirja:
Nesre caso e sabemos que , então a série converge.
Passo 4
Finalizamos então calculando a soma da série:
Para saber para qual valor a série converge, basta usar a equação de soma para séries geométricas:
Fazendo e
Fazendo a subtração de frações no denominador:
Podemos ainda racionalizar, ou seja, retirar os radicais do denominador, multiplicando por :
Portanto;
Resposta
A série converge e sua soma é: