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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 58

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.

f x = x - 2 cos ⁡ x                           ;       [ - π , π ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dada.

Primeiro, precisamos entender o que é um valor de máximo e mínimo absolutos. É o seguinte: um valor máximo absoluto é quando um número f ( c ) é maior que f ( x ) pra qualquer x . Da mesma forma, um valor mínimo absoluto é quando f ( c ) é menor que f ( x ) . Belezinha??

E a forma de encontrar esses máximos e mínimos é derivando a função e igualando a zero.

E o segundo passo é achar o valor da função pra esses pontos e nos extremos do intervalo.

Vamos lá resolver!!

Passo 2

Primeiro derivamos a função:

f ' x = 1 + 2 sin ⁡ x

Igualando isso a 0, temos

1 + 2 sin ⁡ x = 0

sin ⁡ x = - 1 2

O nosso valor de x é:

x = - 5 π 6 ,   - π 6

Pois dentro do intervalo dado esses dois pontos possuem o seno - 1 2 .

Passo 3

Agora vamos achar quanto vale a função nesses pontos de derivada nula e nos extremos do intervalo.

Nos extremos do intervalo:

f - π = - π - 2 cos ⁡ - π = 2 - π

f π = π - 2 cos ⁡ π = π + 2

Nos pontos de derivada nula:

f - 5 π 6 = - 5 π 6 - 2 cos ⁡ ( - 5 π 6 ) = 3 - 5 π 6

f - π 6 = - π 6 - 2 cos ⁡ ( - π 6 ) = - 3 - π 6

Com isso, temos que o nosso valor máximo absoluto é f π = π + 2 e o nosso mínimo absoluto é f - π 6 = - 3 - π 6 . Showw né?

Resposta

Valor máximo absoluto:   f π = π + 2 , valor mínimo absoluto: f - π 6 = - 3 - π 6 .

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