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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 11

Nos Exercícios 11 e 12, (a) expresse ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z como funções de x , y e z utilizando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x , y e z antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z no ponto dado x ,   y ,   z .

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia para duas variáveis independentes e três variáveis intermediária.

Suponha que u = f p ,   q ,   r , p = g x ,   y ,   z , q = h x ,   y ,   z e r = k x ,   y ,   z . Se todas as quatro funções foram diferenciáveis, então u terá derivadas parciais em relação a p , q e r , dadas pelas fórmulas:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ y + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ y + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ z + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ z + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ z

Sendo assim, vamos calcular primeiramente as derivadas ∂ u / ∂ p , ∂ u / ∂ q e ∂ u / ∂ r . Do enunciado temos:

u = p - q q - r

Para a derivada em relação a p , como o denominador não tem esse termo, mantém o denominador e derivamos apenas o numerador:

∂ u ∂ p = 1 q - r

Já quando vamos derivar em função de q , precisamos relembrar que:

y = u v → y ' = u ' v - v ' u v 2

Então temos:

u = p - q → u ' = - 1 v = q - r → v ' = 1        

Logo:

∂ u ∂ q = - 1 q - r - 1 p - q q - r 2 = - q + r - p + q q - r 2

∂ u ∂ q = r - p q - r 2

E em relação a r , iremos derivar apenas em relação ao denominador:

∂ u ∂ r = p - q ∂ ∂ r 1 q - r = p - q ∂ ∂ r q - r - 1

Sabemos que:

y = u n → y ' = u ' ∙ n ∙ u n - 1

Considerando u = q - r , temos u ' = - 1 :

y = u - 1

Logo:

y ' = - 1 ∙ - 1 ∙ u - 1 - 1 = u - 2 = 1 u 2

Então a derivada é:

∂ u ∂ r = p - q ∂ ∂ r q - r - 1 = p - q q - r 2

Substituindo em ∂ u / ∂ p os valores de p , q e r dadas no enunciado:

∂ u ∂ p = 1 x - y + z - x - y + z = 1 2 z - 2 y = 1 2 z - y

Fazendo o mesmo para ∂ u / ∂ q e ∂ u / ∂ r :

∂ u ∂ q = x + y - z - x - y - z x - y + z - x - y + z 2 = - 2 z 2 z - 2 y 2 = - z 2 z - y 2

∂ u ∂ r = x + y + z - x + y - z 2 z - 2 y 2 = 2 y 4 z - y 2 = y 2 z - y 2

Passo 2

Para fazermos as derivadas ∂ p / ∂ x , ∂ q / ∂ x e ∂ r / ∂ x , do enunciado temos:

p = x + y + z q = x - y + z r = x + y - z

Logo:

∂ p ∂ x = 1 ∂ q ∂ x = 1 ∂ r ∂ x = 1

Para y e z , respectivamente:

∂ p ∂ y = 1 ∂ q ∂ y = - 1 ∂ r ∂ y = 1

∂ p ∂ z = 1 ∂ q ∂ z = 1 ∂ r ∂ z = - 1

Passo 3

Sendo assim, para:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ p ∂ p ∂ x + ∂ u ∂ q ∂ q ∂ x + ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x

Temos:

∂ u ∂ x = 1 2 z - y ∙ 1 + - z 2 z - y 2 ∙ 1 + y 2 z - y 2 ∙ 1

= 1 2 z - y - z 2 z - y 2 + y 2 z - y 2

= z - y - z + y 2 z - y 2 = 0

∂ u ∂ x = 0

Fazendo o mesmo para ∂ u / ∂ y :

∂ u ∂ y = 1 2 z - y ∙ 1 + - z 2 z - y 2 ∙ - 1 + y 2 z - y 2 ∙ 1

= 1 2 z - y + z 2 z - y 2 + y 2 z - y 2

= z - y + z + y 2 z - y 2 = 2 z 2 z - y 2

∂ u ∂ y = z z - y 2

E ∂ u / ∂ z :

∂ u ∂ z = 1 2 z - y ∙ 1 + - z 2 z - y 2 ∙ 1 + y 2 z - y 2 ∙ - 1

= 1 2 z - y - z 2 z - y 2 - y 2 z - y 2

= z - y - z - y 2 z - y 2 = - 2 y 2 z - y 2

∂ u ∂ z = - y z - y 2

Passo 4

No item (b) queremos calcular ∂ u / ∂ x , ∂ u / ∂ y e ∂ u / ∂ z no ponto 3 ,   2 ,   1 , logo:

∂ u ∂ x = 0

∂ u ∂ y = z z - y 2 = 1 1 - 2 2 = 1 1

∂ u ∂ y = 1

∂ u ∂ z = - 2 1 - 2 2 = - 2 1

∂ u ∂ z = - 2

Até mais pessoal.

Resposta

  1. ∂ u ∂ x = 0 , ∂ u ∂ y = z z - y 2 , ∂ u ∂ z = - y z - y 2

  2. ∂ u ∂ x = 0 , ∂ u ∂ y = 1 , ∂ u ∂ z = - 2

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