Expresse a implicitamente como uma função de A, b e B e calcule ∂a/∂A e ∂a/∂B

Passo 1

Antes de começar, observe que as letras maiúsculas na imagem fornecida na tarefa representam ângulos dentro do triângulo. Existem 2 partes da tarefa que precisamos resolver. Primeiro, precisamos expressar o lado aa em função do lado b e dos ângulos A e B. Depois disso, somos solicitados a encontrar as derivadas parciais de aa em relação às várias variáveis.

Passo 2

Começamos expressando aa como a função implícita. Fazemos isso usando a lei dos senos:

sin ⁡ A a = sin ⁡ B b

Mais uma vez utilizamos a técnica para a diferenciação implícita na expressão (1). Nós o diferenciamos em relação a A, mas toda vez que encontramos aa, nós o tratamos como uma variável A, mas adicionamos o termo ∂ a ∂ A . O lado direito permanecerá 0, portanto, depois de calcular as derivadas, simplesmente expressamos ∂ a ∂ A . Começamos com os cálculos:

∂ ∂ A ( b s i n ⁡ A - a s i n ⁡ B ) = b c o s ⁡ A - s i n ⁡ B ( ∂ a / ∂ A ) . ∂ a / ∂ A = b c o s ⁡ A sin ⁡ b . ∂ ∂ B ( b s i n ⁡ A - a s i n ⁡ B ) = - ( ∂ a / ∂ A ) s i n ⁡ B - a c o s ⁡ B . ∂ a ∂ B = a c o t ⁡ B .

Resposta

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