Encontre o valor de ∂x/∂z no ponto (1, –1, –3) se a equação xz + y ln x – x2 + 4 = 0 define x como uma função de duas variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe

Passo 1

Vamos diferenciar os dois lados da equação em relação a z, tratando y como constante e x como uma função diferenciável de z. Nós temos:

Passo 2

∂ ∂ z ( x z ) + ∂ ∂ z ( y l n ⁡ x ) - ∂ ∂ z x 2 + ∂ ∂ z ( 4 ) = 0 ∂ x ∂ z z + x ∂ z ∂ z + y 1 x ∂ x ∂ z - 2 x ∂ x ∂ z + 0 = 0 ∂ x ∂ z z + x + y x ∂ x ∂ z - 2 x ∂ x ∂ z = 0 ∂ x ∂ z z + y x - 2 x = - x ∂ x ∂ z z x + y - 2 x 2 x = - x ∂ x ∂ z = - x 2 z x + y - 2 x 2 ∂ x ∂ z ( 1 , - 1 , - 3 ) = - 1 2 ( - 3 ) ( 1 ) + ( - 1 ) - 2 ( 1 ) = - 1 - 6 = 1 6

Resposta

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Suponha f(x, y) diferenciável no aberto A e homogênea de grau lambda . Prove que ∂f / ∂x é homogêna de grau λ - 1 , isto é, que ∂f/∂x | tx, ty = t^(λ-1) ∂f/∂x | x, y para todo t0 , e para todo (x, y)
Seja ϕ(u) uma função diferenciável qualquer. A função f(x, y) = x^2 * φ(x/y) verifica a relação de Euler x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = 2f ? Por quê?
Seja f(x, y) definida e diferenciável na bola aberta A . Suponha que f verifica em A a relação de Eulerx * (∂f / ∂x)(x, y) + y * (∂f / ∂y)(x, y) = λf(x, y) Prove f é homogênea de grau lambda .(Sugestã
Determine uma família de funções que verifiquem a equação x * (∂f / ∂x) + y * (∂f / ∂y) = 0 .
f(x, y) = (e^(x/y) + arctan(x/y) + sen(cos(x/y))) / raiz(x^3 + y^3) verifica a equação x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = -f ? Por quê?