Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 26

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bom?

Precisamos aqui nessa questão começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.

Depois precisamos calcular a soma da série.

A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma, que veremos quando formos aplica-las nos demais passos.

Olhando nossa sequência já vemos que precisaremos manipulá-la para entender se ela converge ou diverge. O fato de termos expoente no numerador e no denominador pode indicar que podemos colocar esse para “fora” da nossa fração e ficaremos com algo no formato de uma série geométrica:

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o .

Para que ela convirja:

Para que ela divirja:

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

Passo 2

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar transformá-la em uma série geométrica. Para isso basta substituir e aplicar a propriedade :

Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma

Portanto temos uma série geométrica com e .

Aqui para a gente, e como é menor que , quando dividimos , portanto essa série converge.

Passo 3

Para finalizar, vai faltar só que a gente ache o valor da soma da nossa série. Como consta lá no nosso passo 1, para séries geométricas já temos expressão pronta para o valor da soma.