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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.4 - Ex. 32

Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,   Q ,   R e calcule a área do trângulo P Q R .

P - 1,3 , 1

Q 0,5 , 2

R 4,3 , - 1

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = 0,5 , 2 - - 1,3 , 1 = ( 1,2 , 1 )

P R → = 4,3 , - 1 - - 1,3 , 1 = ( 5,0 , - 2 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k 1 2 1 5 0 - 2 = 2 1 5 - 2 i - 1 1 5 0 j + 1 2 5 - 2 k

P Q → × P R →   = i j k 1 2 1 5 0 0 = 2 . - 2 - 1.5 i - ( 1.0 - 1.5 ) j + 1 . - 2 - 2.5 k

P Q → × P R →   = i j k 1 2 1 5 0 0 = - 9 i + 5   j - 1 2   k

P Q → × P R → = ( - 9 , 5 , - 1 2 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor multiplor desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( - 9 , 5 , - 1 2 ) = 1 2 ( - 9 ) 2 + 5 2 + 1 2 2 = 1 2 81 + 25 + 144

A = 1 2 2 50

Resposta

( - 9 , 5 , - 1 2 )

A = 2 50 2

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Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q ,P ReP S P ( 3,0 , 1 ) Q ( - 1,2 , 5 ) R ( 5,1 , - 1 ) S ( 0,4 , 2 )
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P 1,0 , 0 Q 0,2 , 0 R 0,0 , 3
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P 2,1 , 5 Q - 1,3 , 4 R 3,0 , 6
Use o produto misto para determinar se os pontos pertencem ao mesmo plano: A ( 1,3 , 2 ) B ( 3 , - 1,6 ) C ( 5,2 , 0 ) D ( 3,6 , - 4 )
Se v 1 ,v 2 ,v 3 são vetores não coplanares, sejam k 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3 (Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia.