Enunciado

Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t. O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:

Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:

Passo 2

Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da partícula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:

Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:

Passo 3

Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:

Como é um vetor, a derivada é de cada uma das compontes:

Resposta

Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso

Velocidade:

Aceleração:

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Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.b) t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j → ,t ≠ 0 j → ,t = 0 em t = 0 .
Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(g) lim t → 0 ⁡ [ f → t × g → ( t ) ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(e) lim t → 0 ⁡ 2 t - 1 ti → + 2 t - 1 j → + t k →
Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(e) f → t - 1 + g → ( t + 1 )
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(d) lim t → 1 ⁡ t - 1 t - 1i → + t - 1 j → + ( t + 1 ) k →