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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1e

  1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que

e)   y ≥ 0 ,   1 ≤ x ≤ 2   e   x 2 - y 2 ≥ 1 .

Passo 1

Fórmula para o volume do sólido,

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

Para x 2 - y 2 ≥   1 ,     é   u m   h i p e r b o l o i d e ,   c o m   a   r o t a ç ã o   e   d e l i m i t a d a   p o r   y ≥ 0   e   1 ≤ x ≤ 2 ,   o   g r á f i c o   s e r á   d e s s a   f o r m a :

A interseção das três funções é onde devemos calcular o volume do sólido.

  V = π ∫ 1 2 x 2 - 1 2 d x

Passo 3

Resolvendo...

V = π x 3 3 - x 1 2 = π 2 3 3 - 2 - 1 3 3 - 1 = π 8 3 - 6 3 - 1 3 + 3 3 = π 2 3 + 2 3 = π 4 3

Resposta

  V = 4 π 3

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12. y^2 = 2 x , x = 0 , y = 0 e y = 2 , a o r e d o r d o e i x o d o s y .
11. y = 2 x - 1 , y = 0 , x = 0 , x = 4 a o r e d o r d o e i x o d o s x .
13. y = 2 x^2 , x = 1 , x = 2 e y = 2 , a o r e d o r d o e i x o y = 2 .
5. y = x^3 , x = - 1 , x = 1 e y = 0
10. y = 3 + sen y , x = 0 , y = - (5 pi)/(2) e y = (5 pi)/(2)