Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 15
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno de
Passo 1
Podemos calcular o volume através da fórmula:
Temos que a área é representada pela figura abaixo:
Sabemos então que e , vamos calcular a área agora, como rotacional em temos:
Onde usamos os raios como as curvas limites.
Agora vamos esboçar o sólido e o disco:
Pronto, agora só falta calcular o volume:
Passo 2
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 3
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá: