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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 10

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região.

y = 1 4 x 2 ,   x = 2 ,   y = 0 ; e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas

y = 1 4 x 2 ,   x = 2 ,   y = 0

E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!

Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas! Temos uma parábola:

y = 1 4 x 2 → c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a ,   p a s s a   p e l a   o r i g e m

E duas retas:

x = 2 → v e r t i c a l

y = 0 → h o r i z o n t a l

Ficamos com:

A área que a gente vai rotacionar em torno do eixo y é essazinha de azul!

Passo 2

Como estamos falando de uma área de rotação, ela vai ser circular A y = π r 2 . E como ela vai estar entre 2 funções, então vamos subtrair uma da outra

A y = π R 2 - π r 2

Lembrando que cada função representa um raio, logo:

A y = π 2 2 - π 2 y 2

Assim,

A y = π 4 - 4 y = 4 π ( 1 - y )

Podemos calcular o volume. Os limites de integração vão ser os pontos de intersecção entre as curvas! Temos:

y = 1 4 x 2 ,   y = 0 → y = 0

y = 1 4 x 2 , �� x = 2 → y = 1 4 2 2 = 1

O nosso limite de integração superior vai ser y = 1 e o inferior y = 0 .

Passo 3

V = ∫ 0 1 4 π ( 1 - y ) d y

V = 4 π ∫ 0 1 ( 1 - y ) d y

Resolvendo a integral, temos:

V = 4 π y - y 2 2 0 1

V = 4 π 1 - 1 2 2

V = 4 π 1 2

V = 2 π

Passo 4

Pra acabar vamos desenhar a região:

Prontinho!

Resposta

V = 2 π

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