Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 15

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva em torno de :

E delimitada sobre as seguintes linhas:

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja um sólido que está entre e . Se a área da secção transversal de no plano , passando por e perpendicular ap eixo , é , onde é uma função contínua, então o volume é dado por:

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno de é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites e .

Passo 3

Assim, nossa área terá dois raios dados por: e e será dada por

Então, nosso volume será dado por

Passo 4

Esboçando o sólido e disco típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo , temos:

Resposta

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : y ≥ 0 ,1 ≤ x ≤ 2ex 2 - y 2 ≥ 1

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 3

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 8 e 0 ≤ y ≤ x 3

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x 2 - 1

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : x ≤ y ≤ - x + 6ex ≥ 0