Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

y = x 3 , y = 0 ,   x = 1 ;     e m   t o r n o   d e   x = 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva em torno de x = 2 :

y = x 3

E delimitada sobre as seguintes linhas:

y = 0 ,   x = 1

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno de x = 2 é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites 0 e 1 .

Passo 3

Assim, nossa área terá dois raios dados por: 2 - 1 e 2 - y 3 e será dada por

A y = π ⋅ 2 - y 3 2 - 1

Então, nosso volume será dado por

V = ∫ 0 1 A y d y ∴

V = ∫ 0 1 π ⋅ 2 - y 3 2 - 1 d y ∴

V = π ⋅ 3 5 ⋅ x 5 3 - 3 x 4 3 + 3 x 0 1 ∴

V = 3 π 5

Passo 4

Esboçando o sólido e disco típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo x = 2 , temos:

Resposta

3 π 5

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