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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 6

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

2 x = y 2 ,   x = 0 , y = 4     e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva:

2 x = y 2

E delimitada sobre as seguintes linhas:

x = 0 , y = 4    

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo y é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites 0 e 4 .

Passo 3

Dessa forma nossa área do disco terá como raio y 2 2 e será dada por

A y = π ⋅ y 2 2 2 = π y 4 4

Então, nosso volume será dado por

V = ∫ 0 4 A y d y ∴

V = ∫ 0 4 π y 4 4 d y ∴

V = π �� y 5 20 0 4 ∴

V = 256 π 5

Passo 4

Esboçando o sólido e disco típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo y , temos:

Resposta

256 π 5

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