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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1b

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ 8 e 0 ≤ y ≤ x 3

Passo 1

Não há tanta necessidade de se fazer o gráfico nessa questão, pois a função em y já está definida assim como os intervalos de integração, porém vamos fazê-los, para mantermos a prática.

Sem mais enrolação, vamos começar pelos gráficos.

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

0 ≤ x ≤ 8

0 ≤ y ≤ x 3

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo y , temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção entre os gráficos:

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 0   e   x = 8

Caso tenha esquecido, tá aí a fórmula:

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Nosso intervalo de integração será x = 0   e   x = 8 , e a função y = x 3 :

V   =   2 π ∫ 0 8 x 3 x d x = 2 π ∫ 0 8 x 4 3 d x = 2 π 3 7 8 7 3 - 0 = 6 π 7 128 = 768 π 7

Resposta

V = 768 π 7

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