Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1c

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x 2 - 1

Passo 1

Não há tanta necessidade de se fazer o gráfico nessa questão, pois a função em y já está definida assim como os intervalos de integração, porém vamos fazê-los, para mantermos a prática.

Sem mais enrolação, vamos começar pelos gráficos.

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

1 ≤ x ≤ 2

V

0 ≤ y ≤ x 2 - 1

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo y , temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção entre os gráficos:

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 1   e   x = 2

Caso tenha esquecido, tá aí a fórmula:

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Nosso intervalo de integração será x = 1   e   x = 2 , e a função y = x 2 - 1 :

V   =   2 π ∫ 1 2 x 2 - 1 x d x = 2 π ∫ 1 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x d x = 2 π x 4 4 2 1 - 2 π x 2 2 2 1 = 2 π 15 4 - 3 2 = 9 π 2

Resposta

V = 9 π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo dado. A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = x 2 , abaixo pelo eixo x e à direita p
Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo dado. A região é a região, no segundo quadrante, limitada acima pela curva y = - x 3 , abaixo pelo eixo x e à esquerda
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno Da reta x = 1 .Da reta x = 2 .