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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = e x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado.

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

V = ∫ a b π y 1 2 - y 2 2 d x     o u     V = ∫ a b π x 1 2 - x 2 2 d y

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Veja só!

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 0 1 π e x 2 d x

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 1 π e 2 x d x

V = 1 2 π e 2 x 0 1

Aplicando os limites de integração...

V = π 2 e 2 - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = π 2 e 2 - 1

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