Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 16

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x ,   y = x ;           e m   t o r n o   d e   x = 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes curvas:

y = x ,   y = x

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x = 2 obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = x

y = x

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 0 e b = 1 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:

y = 2 - e - x

  x = 2 - 1

Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno! Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 , que é o eixo de rotação!

Agora vamos esboçar o sólido:

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d y

Substituindo:

V = ∫ 0 1 π 2 - y 2 2 - 2 - y 2   d y

Resolvendo:

V = π ∫ 0 1 y 4 - 5 y 2 + 4 y d y = π y 5 5 - 5 3 y 3 + 2 y 2 0 1

V = π 1 5 - 5 3 + 2

V = 8 15 π

Prontinho!

Resposta

V = 8 15 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : y ≥ x 2ex 2 + y 2 ≤ 2
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 2 x 2 + y 2 ≤ 1 e y ≥ 0
(Teorema de Papus para a elipse.) Considere que o conjunto A de todos os pontos (x,y) tais que ( x - α ) 2 a 2 + y - β 2 b 2 ≤ 1a ≥ 0eb ≥ 0 e situado no semiplano y ≥ 0 . Mostre que o volume do sólido
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 2 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1 x 2